Интерпретация существования в философии математики Гильберта

Суть стратегии Гильберта сводилась к тому, чтобы, формализовав основные методы рассуждения в математике, установить их непротиворечивость путем анализа самого рассуждения (См, напр,[11], [12], [14], [18], [50], [55], [62]). Объектом изучения стали не математические предметы, а рассуждения об этих предметах. Но рассуждение в математике, как и всякое человеческое рассуждение вообще, даже будучи обращено к бесконечному предмету, само остается конечным. Поэтому наука, изучающая рассуждения, названная Гильбертом метаматематикой, по определению имеет дело только с финитным объектом. Сама математика может сколько угодно оперировать с бесконечностью. Но это ее оперирование будет всегда выражено в виде конечного текста, записанного по определенным правилам. Требование наглядности оказывается здесь особенно важным. Мы можем быть уверены в производимых нами математических рассуждениях, если доказана их непротиворечивость. Доказательство же непротиворечивости, производимое на метауровне, может и должно быть наглядным, непосредственно очевидным. Объект, конструируемый в ходе метарассуждения, возникает у нас на глазах и его свойства (в частности, свойство непротиворечивости) оказывается наглядно представимым и непосредственно проверяемым. Здесь особую роль играет знаковая природа математического рассуждения. В нем любой (в том числе и бесконечный) предмет представлен знаком, конечным, более того, чувственным, доступным непосредственному восприятию объектом. Это обстоятельство специально подчеркивалось Гильбертом: "Кое-что уже дано в нашем представлении для применения логических выводов и для выполнения логических операций: объекты, которые имеются в созерцании до всякого мышления в качестве конкретных переживаний. Для того, чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью, во всех частях; их показания, их отличия, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно, наглядно, одновременно с другими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении ." И далее: "В математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых, согласно нашей установке, непосредственно ясен и может быть впоследствии узнан" ([15], c. 351).

Таким образом, по отношению к метаобъекту Гильберт предъявляет требования, пожалуй, более жесткие, чем Брауэр по отношению ко всем объектам математики. Последний не настаивает на "наглядности". Гильберт и Бернайс характеризуют установки интуиционизма как "расширение" финитной установки ([18], c. 71). При этом важно, что в конечном счете гильбертовская математика также основывается на определенных базовых интуициях. Френкель и Бар-Хиллел указывают, что такими интуициями для Гильберта являются первичные представления о тождестве и различии, а именно о самотождественности знака, который должен быть опознан как один и тот же при разных вхождениях в формулы и при этом отличЁн от всякого другого знака. Действительно, всякое конструирование объекта, коль скоро оно сводится к комбинирований некоторых элементарных конфигураций, подразумевает, прежде всего, способность видеть различия между разными конфигурациями и уверенно опознавать одну и ту же в различных обстоятельствах. Здесь однако уместны следующие два замечания. Во-первых, названные элементарные конфигурации, строго говоря, не являются уже знаками. Точнее, они могут быть названы знаками в силу их происхождения, поскольку именно в качестве знака выступали для математического рассуждения. В нем они действительно обозначают нечто иное - математический объект, о котором ведется рассуждение. Но как только само математическое рассуждение превращается в объект, т.е. становится предметом метаматематического рассуждения, эти знаки уже ничего не обозначают. Они выступают лишь как первичные структурные элементы, из которых складывается, как из деталей конструктора, исследуемое математическое рассуждение.

Интересно знать

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид : (1) На f(t) наложены условия : 1) f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ ) 2) f(t) º 0 , t Î (- ¥ ;0) 3) При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f( ...

Операционное исчисление и некоторые его приложения
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : 1) 2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода). 3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется усло ...