Девиантное поведение / Родимые пятна, родинки и меланома / Эндометриоз / Ожирение. Снижение веса / Обмен веществ и энергии

Интерпретация существования в философии математики Гильберта

В книге Гильберта и Бернайса [18] также есть описание финитного метода рассуждения. Важным уточнением по отношению к определению Эрбрана является, прежде всего, указание на наглядность финитного объекта. Лучшим примером, иллюстрирующим эту наглядность, является рассуждение, проводимое в формальной алгебре ([18], c. 56-58). Имея запас букв (переменных) и специальных знаков, мы, действуя в рамках этой дисциплины, конструируем объекты (полиномы), руководствуясь заранее заданными правилами. Начиная с простейших объектов, состоящих из одной буквы, мы можем построить множество разнообразных и весьма сложных объектов. В рамках, обусловленных правилами процедур, могут доказываться различные утверждения и устанавливаться свойства конструируемых объектов. Но каким бы ни было проводимое рассуждение, его справедливость может быть проверена наглядно, поскольку оно всегда непосредственно представлено перед глазами. Узнать что-либо о предмете означает построить его, любой предмет алгебры возникает под руками исследователя и процедура его возникновения полностью доступна наблюдению. Финитное рассуждение характеризуется в [18] как "прямое содержательное рассуждение, совершающееся в виде мысленных экспериментов над наглядно представимыми объектами." (с. 59).

Если бы, занимаясь математикой, мы могли бы постоянно оставаться в рамках финитного рассуждения, то естественно было бы понимать существование математического объекта в смысле его конструктивности. Однако предметы математики очень часто не являются финитными объектами. В [18] приводится целый ряд примеров того, как в математике возникают предметы, которые невозможно сконструировать и которые не могут быть представлены наглядно. Уже арифметика требует использования нефинитных рассуждений, прибегая к "tertium non datur" для обоснования высказываний о целых числах. Число, о свойствах которого мы судим на основании закона исключенного третьего, не представлено наглядно, и может не быть доступно конструированию с помощью конечной процедуры (с. 62-64).

Математический анализ, в его классическом изложении, практически полностью основан на рассуждениях о нефинитных предметах. Нефинитным является действительное число (о чем мы говорили выше), определяемое через бесконечную совокупность целых чисел (с. 64-67). Но анализ не ограничивается рассмотрением бесконечной совокупности целых чисел - он обращается к предметам "еще более нефинитным" (если можно так выразиться), рассматривая бесконечные совокупности действительных чисел в качестве актуально данных предметов. Рассуждения, используемые при этом, никак не могут апеллировать к наглядности. Естественно, что обращение к конструктивности, как критерию существования, оказывается бессмысленным для математического анализа. Говоря точнее, этот критерий заставляет считать названные (нефинитные) предметы своего рода химерами, странными измышлениями математиков, которые попросту не существуют.

Такой жесткий вывод и был, собственно, сделан интуиционистской школой, реализация программы которой состояла в значительном урезании всей математики. Намерение Гильберта было прямо противоположным: обосновать корректность тех частей математики, для которых существенно обращение к принципиально нефинитным предметам. Видимо это и обусловило его обращение к той интерпретации существования, которая была в свое время предложена Пуанкаре. Разработанный Гильбертом аксиоматический подход позволял достаточно ясно сформулировать, что означает свобода от противоречия в качестве критерия существования (см. выше - о существовании совокупности действительных чисел). Доказательство существования, таким образом превращалось в доказательство непротиворечивости системы аксиом. То, как Гильберт предполагал доказывать непротиворечивость, придает понятию финитности совершенно новый смысл.

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5

Интересно знать

Эндометриоз
В структуре гинекологической заболеваемости эндометриоз занимает 3-е место после воспалительных процессов и миомы матки, поражая до 50 % женщин с сохраненной менструальной функцией. Эндометриоз приводит к функциональным и структурным изменениям в репродуктивной системе, нередко отрицательно влияя на психоэ ...

Повреждение сосудов кровотечение и кровопотеря. Шок и синдром длительного сдавливания
Причиной гибели раненых на поле боя являются острая кровопотеря и шок. Во время ВОВ умершие от кровопотери составили 30% всех обнаруженных на месте сражения (по некоторым данным до 50%). Из числа умерших от кровопотери на поле боя у 60% были ранения грудной и брюшной полости, и значительно реже ранения сосу ...

Разделы сайта