Девиантное поведение / Родимые пятна, родинки и меланома / Эндометриоз / Ожирение. Снижение веса / Обмен веществ и энергии

Интерпретация существования в философии математики Гильберта

Понимание существования математического предмета в рамках формального направления в математике представляется, на первый взгляд, совершенно противоположным интуиционистскому. В книге Френкеля и Бар-Хиллела ([55], c. 322), утверждается, что Гильберт скорее всего солидаризировался бы в этом вопросе с Пуанкаре, отождествляя существование со свободой от противоречия. Следующий пассаж из работы Гильберта "О понятии числа" уточняет и подтверждает эту точку зрения.

"В доказательстве непротиворечивости установленных аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство существования совокупности действительных чисел или - употребляя выражение Кантора - доказательство того, что система действительных чисел является 'консистентным' (готовым) множеством ." И далее: " .под множеством действительных чисел мы должны, согласно этой точке зрения, понимать не совокупность всевозможных законов, которым будут следовать элементы фундаментальных последовательностей, а скорее - как это было изложено выше - систему вещей, взаимоотношения которых задаются с помощью ранее указанной конечной и замкнутой системы аксиом." ([15], c. 320).

Обратим, прежде всего, внимание на серьезность расхождения Гильберта с Брауэром. Он (Гильберт) совершенно недвусмысленно говорит о множестве действительных чисел, как о существующем объекте. Такое допущение абсолютно невозможно для Брауэра, поскольку множество действительных чисел, понятое к тому же как совокупность "вещей", начисто исключается всякой интуицией и не может быть сконструировано. Мы очевидно имеем дело с принципиально иной философской установкой, выражающейся, в частности, в попытке иначе (чем основываясь на понятии конструктивности) определить онтологический статус предмета.

С другой стороны, однако, не нужно глубокого проникновения в суть формальной математики, чтобы увидеть множество черт, сближающих ее с интуиционистской. Прежде всего, обращает на себя внимание слово "финитность", использованное самим Гильбертом в качестве основной характеристики своего метода рассуждения. Сам этот термин, явно указывающий на завершенность осуществляемых процедур (т.е., по сути, на конструктивность), мог бы быть применен и к интуиционистской математике. Если же говорить о попытках определения финитности, предпринимавшихся именно в рамках гильбертовской школы, то они подчас вызывают полное ощущение того, что речь идет об основных посылках интуиционизма. Френкель и Бар-Хиллел, например, в качестве окончательной формулы финитного метода рассуждения приводят следующую цитату из Ж. Эрбрана (известного математика - ученика Гильберта): "Всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций, функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений; никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта; никогда не рассматривается (как вполне определенное) множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности" ([55], c.321). Наверное любой представитель интуиционистского или конструктивного направления опознал бы в приведенном отрывке описание своего собственного метода рассуждения. Речь однако идет об основных принципах формального метода. Заметим, кстати, что приведенное определение явно противоречит цитированному выше рассуждению Гильберта о существовании множества всех действительных чисел. Последнее никак не является объектом, для которого можно указать способ построения, однако Гильберт считает его существующим. Объясняется ли такое противоречие лишь тем, что приведенное здесь описание принадлежит не Гильберту, а математику, который мог в чем-то расходится со своим учителем? Или слова Эрбрана о существовании нужно понимать несколько иначе, чем те же самые слова, написанные интуиционистом?

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5

Интересно знать

Идея справедливости в здравоохранении и медицине
Нравственная идея справедливости - одна их основных идей, регулирующих человеческие отношения. Дж.Роулс, современный исследователь проблемы справедливости, полагает, что справедливость - "первая добродетель социального института". Эта оценка традиционна для культуры. Еще Платон в диалоге &qu ...

Проблемы выбора карбапенемных антибиотиков в конце 90-х гг.
Первый антибиотик из группы карбапенемов – имипенем – появился в клинической практике в 1980г. К настоящему времени известно более 40 природных и синтетических соединений этой группы, однако для клинического применения используются только несколько препаратов: имипенем, меропенем, биапенем и панипенем (пос ...

Разделы сайта