Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

(1)

На f(t) наложены условия :

1) f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ )

2) f(t) º 0 , t Î (- ¥ ;0)

3) При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :

(2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.

(4)

(5)

(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

3) Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|<Me S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

т.к.

Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если f(t) ¹ 0, t<0

(6)

Обозначим

Очевидно, что (6’)

Функция (6) называется спектральной плотностью

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

1) Вычисление интеграла (5)

2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Интересно знать

Современные рекомендации по стандартам ультразвуковой оценки объема щитовидной железы у детей и подростков
В настоящее время невозможно представить диагностику любой тиреоидной патологии без визуализации щитовидной железы (ЩЖ) и определения её объёма ультразвуковым методом. Поэтому исключительно важными являются разработка и оценка точности стандартов нормы — особенно в педиатрической практике. От того, наскольк ...

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция : (1) Свертка обозначается следующим образом : (1’) Равенства (1) и (1’) идентичны. Свертка функции подч ...