Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
(1)
Свертка обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
Теорема о
умножении изображений. Пусть и
, тогда произведение изображений
представляется сверткой оригиналов
.
Доказательство :
Пусть
изображение свертки
(1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема
Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов,
, а Ф(р) и q(р)
– аналитические функции в области изображений, такие, что
, тогда
.
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
(2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Интересно знать
Свойства линейности изображения.
Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на
постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Если , то ,
где
Теорема
смещения : если функция F(p) это изображение f(t),
то F(a+p)
является изображением функции e-at
f(t) (4)
...
Современные рекомендации по стандартам ультразвуковой оценки объема щитовидной железы у детей и подростков
В
настоящее время невозможно представить диагностику любой тиреоидной патологии
без визуализации щитовидной железы (ЩЖ) и определения её объёма ультразвуковым
методом. Поэтому исключительно важными являются разработка и оценка точности
стандартов нормы — особенно в педиатрической практике. От того, наскольк ...