Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
(1)
Свертка обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
Теорема о
умножении изображений. Пусть и
, тогда произведение изображений
представляется сверткой оригиналов
.
Доказательство :
Пусть
изображение свертки
(1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема
Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов,
, а Ф(р) и q(р)
– аналитические функции в области изображений, такие, что
, тогда
.
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
(2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Интересно знать
Ступенчатая терапия новый подход к применению антибактериальных препаратов
Расходы лечебных
учреждений на приобретение лекарственных средств в среднем составляют 15-20% от
бюджета, из них на долю антиинфекционных препаратов приходится 50-60%, что
заставляет искать новые подходы к их применению [ 1, 2]. Одним из таких
подходов является ступенчатая терапия (в англоязычной литератур ...
Физиология крови
Кровь, лимфа, тканевая,
спинномозговая, плевральная, суставная и другие жидкости образуют внутреннюю
среду организма. Внутренняя среда отличается относительным постоянством своего
состава и физико-химических свойств, что создает оптимальные условия для
нормальной жизнедеятельности клеток организма.
Впер ...