Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :

(1)

Свертка обозначается следующим образом :

(1’)

Равенства (1) и (1’) идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:

Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов .

Доказательство :

Пусть изображение свертки

(1)

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда .

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

(2)

Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.

Интересно знать

Обмен веществ и энергии
В живых организмах любой процесс сопровождается передачей энергии. Энергию определяют как способность совершать работу. Специальный раздел физики, который изучает свойства и превращения энергии в различных системах, называется термодинамикой. Под термодинамической системой понимают совокупность объектов, у ...

Волосяные фолликулы и сальные железы
"Двумя обычными причинами несчастья людей являются, с одной стороны, незнание того, как мало им нужно, чтобы быть счастливыми, а с другой - мнимые потребности и безграничные желания". Гельвеций Прыщами обычно называют поражения (часто воспалительного характера) сальных желез и волосяных ...