Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Если , то , где

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-at f(t) (4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений:

F(p)	f(t)	F(p)	f(p)
	1

Изображение производных.

Теорема. Если , то справедливо выражение :

(1)

Доказательство :

(2)

(3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :

Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение :

Если x(0)=0 и x’(0)=0

Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.

Изображающее уравнение :

Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда .

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.

Интересно знать

Исследование функций органов дыхания
1. Лабораторные и инструментальные методы исследования: a) Рентгеноскопия; b) Рентгенография; c) Томография; d) Бронхография; e) Флюорография. 2. Эндоскопичекое исследование: a) Бронхоскопия; b) Торакоскопия. 3. Методы функциональной диагностики: a) Легочная вентиляция; b) Плевральная пункц ...

Мозг гения
Слова Гоголя о том, что Пушкин - это русский человек в его развитии, в каком он, может быть, явится через двести лет, цитировались не раз; произнесенные Достоевским, они зазвучали как пророчество [ 1]. Что же означало это "пророчество"? Как современники и потомки Гоголя могли понимать слова " ...