Операционное исчисление и некоторые его приложения

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

1)

2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t

Рассмотрим функцию f(t)×e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

(1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Проинтегрировав это равенство получим :

(2)

Оценим левую часть равенства (2) :

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t

В случае если a>S0 имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.

Интересно знать

История открытия витаминов
Ко второй половине 19 века было выяснено,что пищевая ценность продуктов питания определяется содержанием в них в основном следующих веществ:белков,жиров,углеводов,минеральных солей и воды. Считалось общепризнанным,что если в пищу человека входят в определенных колличествах все эти питательные вещества, ...

Исследование функций органов дыхания
1. Лабораторные и инструментальные методы исследования: a) Рентгеноскопия; b) Рентгенография; c) Томография; d) Бронхография; e) Флюорография. 2. Эндоскопичекое исследование: a) Бронхоскопия; b) Торакоскопия. 3. Методы функциональной диагностики: a) Легочная вентиляция; b) Плевральная пункц ...