Операционное исчисление и некоторые его приложения

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

1)

2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t

Рассмотрим функцию f(t)×e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

(1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Проинтегрировав это равенство получим :

(2)

Оценим левую часть равенства (2) :

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t

В случае если a>S0 имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.

Интересно знать

Родимые пятна, родинки и меланома
"Если новорожденный появляется на свет с родинками, говорят - он будет счастливым. И чем больше этих темных пятнышек на коже, тем больше пророчат счастья. К сожалению, мало кто знает, что родинки подчас таят в себе угрозу не только здоровью, но и жизни. Поверье гласит, что они - не что иное, как отмети ...

Токсикодермии
Токсикодермии - заболевания, относящиеся к группе аллергических болезней. Аллергические болезни - это группа заболевания, в основе развития которых лежит иммунная реакция, вызывающая повреждение органов и тканей; возникает в результате действия экзогенных аллергенов. Также есть аутоаллергические болезни - с ...