Операционное исчисление и некоторые его приложения

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

1)

2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t

Рассмотрим функцию f(t)×e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

(1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Проинтегрировав это равенство получим :

(2)

Оценим левую часть равенства (2) :

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t

В случае если a>S0 имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.

Интересно знать

Биология гемостаза
Гемостаз — это сложный процесс, который предотвращает или останавливает истечение крови из просвета сосуда, обеспечивает возникновение свертка фибрина, необходимого для восстановления целостности ткани, и, наконец, удаляет фибрин, когда нужда в нем отпадает. В этом процессе участвуют четыре основных физиоло ...

Обмен веществ и энергии
В живых организмах любой процесс сопровождается передачей энергии. Энергию определяют как способность совершать работу. Специальный раздел физики, который изучает свойства и превращения энергии в различных системах, называется термодинамикой. Под термодинамической системой понимают совокупность объектов, у ...